文/李國偉(作者為本書譯者,曾任中研院數學所所長)

小學數學為什麼重要?因為它最有用。「用」的意義有多種層次,暫且不討論數學可用來訓練邏輯推理及解決問題的能力,只檢視一下職場上是如何有用。

2016年美國東北大學社會學教授韓德爾發表論文〈人們上班時做什麼?〉。調查顯示幾乎所有人在工作中都需要用一些基本數學;但是除了計數與四則運算以外,其他數學題材的使用率便會降低。約有三分之二的人需用分數、小數、百分比,有22%的人會用層次稍高一些的數學,例如代數。按照韓德爾的分類,歸入低階白領職業的人,使用超過小學程度數學的比率甚至低於10%。雖然在台灣好像沒有執行過類似的職場調查,推測狀況應該近似。因此從工作上是否需要的角度來衡量,對多數人而言小學數學最為重要。

成績雖好,興趣低

小學數學既然重要,台灣學生學習的狀況又如何呢?

「國際數學與科學教育成就趨勢調查」(Trends in International Mathematics and Science Study,簡稱TIMSS)每四年舉辦一次,對象為四年級與八年級(國中二年級)學生,目的在瞭解數學與科學領域學習成就的發展趨勢,以及文化背景及教育制度的相關性。目前有59國(中國未在內)參與這項國際研究,台灣歷屆數學成績排名如下表:


成績穩定名列前茅,看來應該得到喝采。然而TIMSS還調查學生喜不喜歡數學、學生對於學習數學的自信、以及學生認為數學有沒有用,這些涉及學習態度的項目。下表列出2015年台灣學生回應負面選項的百分比:

台灣小四學生在不喜歡數學與學習沒有自信方面,都是國際平均的兩倍。雖然學習成就不錯,但是學習心態不健康,難怪到八年級認為數學無用的人數,超過國際平均的三倍。歷屆評量中顯現成績與態度的反差,似乎成為台灣數學教育的常態,如此常態其實是非常令人憂心的病態!

因為小學數學教育不像國高中那樣受到升學的嚴重影響,所以四年級學童負面態度的原因,必須從學習環境去瞭解。修訂十二年國教數學課綱時,負責國小階段的翁秉仁指出:「在台灣,一般家長雖然怕數學,卻很喜歡『干預』小學老師的教學。家長多半覺得自己會小學數學,因此可以『盡一份心』。但是他們干預的方式很簡單,看到孩子不會做習題,就指導學生怎麼算;厲害一點的,更直接把國中方法搬下來,卻不做任何解釋。問題是,除了數學老師之外的成人,多半覺得數學就是公式和計算,不需要解釋(『反正你這樣算就對了!』)。還會因此據理力爭,為小孩向老師爭取分數,造成許多教學困擾。」

除了家長的干預外,不少學生還在補習班接受不斷套公式計算的折磨,後果是抵消了老師正常教學的成效。這種幫倒忙的做法,除了歸咎於把公式背誦等同數學學習,更基本的原因是對於兒童智力發展的欠缺理解。特別是「家長多半覺得自己會小學數學」,而輕忽了其中精微細緻的概念層次。

本書作者是聲望卓著的以色列理工學院教授,在離散數學方面的成就國際知名。因為他有高深數學修養,以及研究創新經驗,才能針對小學數學發人所不能發的真知灼見。他說:「我在教小學生時領悟出一個道理,就是小學數學一點也不單純,除了美之外還有深度。」換句話說:「小學數學雖然不深奧,但包含智慧;雖然不複雜,卻有深意。」本書第一重要的任務,就是協助讀者建立對小學數學的虔敬之意。家長以及教師具有這種鄭重其事的心態,才能貼近孩童感受他們學習中遭遇的困惑,才能發揮啟蒙嚮導作用,並且從旁鼓舞好奇、探索、精進的士氣。

本書的核心觀點是要家長瞭解小學數學教學的最主要原則是「從具體逐步走向抽象。」一般人看到「抽象」二字,很容易連結到「難以捉摸」、「不可理解」這些意味,因此不由自主採取迴避態度。其實「抽象」反映的是一種思維狀況。例如,經驗老到的家庭主婦炒菜時,不需要邊看食譜邊動手,腦海裡早有一番程序,甚至該如何加油添醋,會產生什麼味道,一盤「抽象」的美食已然胸有成竹。

當作者教一年級生3枝鉛筆加2枝鉛筆是5枝鉛筆之後,問他們3枚鈕釦加2枚鈕釦會得到多少鈕釦時,學生能夠正確回答5枚鈕釦。作者故意詰問:「但是前一個問題是關於鉛筆,也許會跟鈕釦不一樣啊?」學生就都笑了。小學生的抽象能力是不可輕忽的,他們已經知道某種規律能夠適用於不同的實體上。從實際物體到數目概念,再把數目概念廣泛應用,顯示出「抽象」的層次逐步增高。「成人看做是整體的概念,其實是由許多小要件層層堆疊起來,而你不能省略其中任何層次。……在小學裡光用解釋是無效的,概念必須通過學童親身經驗才能產生。」作者表示從教小學數學裡,自己新學到的就是體認出這種「精緻的層次」。

數學真美麗

作者還想傳達給讀者一項基本價值觀,就是數學是美麗的。他說「數學與藝術有兩項相同之處:秩序與精簡。」一種陡然從混沌狀態安頓出既未預期又未看透的情境,使得深刻美感經驗相應興起。小學數學裡雖然包含了許多歷史上最美麗的數學發現,但是機械式學習往往把美感斲喪殆盡。其實感受美是天賦的能力,作者說:「二年級班上,我教小朋友一種證明乘法交換律的漂亮方法……。有位坐在第一排的小朋友抬頭凝視一會兒,然後低聲說:『真美。』」這是多麼令人感動的教育場景。

為了達成「秩序與精簡」的目標,學習數學時不可避免要使用符號與操作算式,但是在純熟處理這些形式物件之前,必須先真正理解概念。小朋友展現理解的方式不乏令人意外驚喜的舉動。例如,作者問女兒為什麼2 × 3 = 3 × 2,女兒舉起一隻手的3根手指,再舉起另一隻手的3根手指,這是2 × 3。然後她把兩隻手併攏,舉起的手指叉開成3對,不就是3 × 2嗎?還有一例:作者請小朋友演示6 ÷ 4。他們把黑板劃分成4個區塊,每一區塊站一位同學,剩下的兩位同學「自願上半身在一區塊,下半身在相鄰的另一區塊」,多麼生動的顯示了正確答案是一再加一半!

小朋友這些舉動都是自我建構概念與內化知識的表現,可是在「建構主義」指導課綱及教學方法的時期,家長看到的是不要背「九九乘法表」、簡單的乘法變成冗長的連加法、以及整體計算能力的下降。數學家則批評極端的「建構主義」妄想學生能自發找出數學的規則,使得教材的嚴謹性受損,造成學生觀念糊塗。在本書附錄裡,作者扼要描繪了二戰以後國際數學教育的幾次風向轉移,特別批評了「建構主義」的偏頗主張。

各國的教育戰爭

台灣自從1994年民間教改團體發起「410教改大遊行」之後,二十餘年來教育改革一直是社會關注的議題,不過民眾對於教改效果似乎貶過於褒。在1996年至2003年間,國小數學課程標準也出現過強調知識建構的時期,然而因為引起非常大的爭議不得不叫停。據劉柏宏的觀察:「台灣近幾年對建構式數學的討論與美國『數學戰爭』的某些過程雖不盡相同,但其背後內涵確實有幾分相似之處。不論在數學界或數學教育界,美國的走向都緊緊牽動台灣的發展。美國『數學戰爭』雖已緩和但尚未結束,而台灣的課程爭議也還沒落幕。」

美國的「數學戰爭」起源於1989年美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics,簡稱NCTM)公布的《學校數學課程與評量標準》,其中倡議的中小學數學教育改革方向深受建構主義影響。這套《標準》以及根據它所編寫的教科書,受到相當多專業數學家的強烈批評,媒體因而用「數學戰爭」描述雙方論辯的激烈程度。這場「戰爭」最終導致《各州共同核心標準》(Common Core States Standards,簡稱CCSS)於2010年公布,規範了從幼兒園到高中的數學課程。目前採用此標準的地方,包含41州、華府以及4個海外領地。CCSS的數學標準強調聚焦、一貫與嚴謹三原則,既注重概念理解也不輕忽實作應用,整體看來比NCTM主導期的課程難度加大。雖然CCSS得到專業數學團體的熱烈支持,但是反對的勢力仍然存在,由聯邦經費支持的標準化測驗尤其為人所詬病。川普競選美國總統時的政見之一,就是要拋棄CCSS標準,號稱要把教育的選擇權歸還州政府。

數學內容雖然普世相同,但是數學教育深受社會與文化因素的影響,必然與各國的具體國情有關。像是法國精英層次與普通民眾之間,包括數學教育在內的很多方面,都存在著巨大鴻溝。曾經得過菲爾茲獎的法國明星國會議員維拉尼(Cédric Villani)在2018年2月完成一份報告,認為一般人民接受的數學教育幾近災難。他在21條改革建議中,強調了提高中小學數學教師水平的迫切性。類似本書作者在「以色列人人數學有成就基金會」採取的措施,維拉尼的報告也把新加坡的數學教學作為值得學習的楷模。

英國方面的狀況是教室紀律鬆懈,使用教科書比例低落,因而造成數學學習成效欠佳。2016年英國政府以四年為期,計畫提撥約18億台幣經費給全英格蘭近半數學校,預計培育700名種子教師,廣泛向上海、新加坡、香港取經,進行數學教學改革。同時中國也派出許多數學老師,前往英國學校從事示範教學。從2018年起,英國的老師甚至可選用一整套中譯英的教科書《真實上海數學》(Real Shanghai Mathematics)。

為什麼這些國家都要向新加坡學習呢?主要是因為新加坡不僅在TIMSS總是名列前茅,在另外一項國際評量PISA中也表現出眾。PISA是「國際學生能力評量計劃」的簡稱,每三年針對15歲學生進行一次跨國評量,藉以瞭解各國學生在「閱讀素養」、「數學素養」與「科學素養」上的能力。2015年有72個國家參加評量,新加坡在每一素養項目上都獨占鰲頭。至於會特別關注上海數學教育的原因,是因為中國於2012年首次參加PISA評量,當時僅以上海作為試點,結果成績特別突出,引起西方國家的矚目。

PISA評量的目標是各科「素養」,注重理解、應用、解決問題的能力,也是學生進入社會必須具備的能力。評量題目與日常生活相關,同時說明試題的情境,讓學生作答時能把思考與情境聯繫起來。台灣最新的《十二年國民基本教育課程綱要》,也要著重培養下一代的核心素養,為終身學習奠定基礎與職涯發展做好準備,可說是呼應PISA引導的教育發展方向。在注重素養的時代,家長必須先自我教育,才能用正確的觀點、恰當的誘導、健康的態度,協助孩童獲得應有的數學能力。小學教師們也應該加強自我改善的力道,積極參加教師培訓或增能活動,開創書面作業以外的動手實作或身體活動,幫助學生體會出生活周遭處處可發現數學的蹤跡。本書在提供家長與教師正當觀點上確實是個好幫手,因此願意將它翻譯成中文與關心兒童教育的讀者分享。

※ 本文摘自《小學算術教什麼,怎麼教》本篇出自〈譯者序 小學數學是一生中最重要的數學課〉,立即前往試讀►►►

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