圖片截自: youtube影片

沙發搬不過轉角,《六人行》羅斯的問題原來出在數學?

文/馬克.弗雷利;譯/張簡守展

所有人都經歷過這種尷尬,至少數學家以外的一般人都有相似的經驗。我指的是數學家所謂的空間感知問題;對我們一般人來說,則是生活中的沙發搬運問題,也就是常見的「我以為過得去」情況。

想像你正在逛當地的家具店,店家正好推出促銷活動。你看到一組沙發相當喜歡,更棒的是,老闆開出兩折的誘人優惠,讓你覺得非買不可,當場下訂。

隔天沙發送來時,你才驚覺事情沒有想像中簡單。沙發順利進了門,但隨之而來的九十度轉角,讓沙發無法輕易進入客廳。經過漫長努力,不管怎麼推、怎麼拉,沙發始終無法順利過彎。隔天你回到店裡,詢問後只得到促銷商品無法退款的答覆。你的阿姨住在稍嫌偏僻的郊區,她很樂意下週就接收這組漂亮的沙發。她的房子古色古香,走廊又直又寬,完全沒有轉彎的問題。只不過,你得再買一組搬得進客廳的沙發,而到時你的信用卡帳單恐怕不會太好看。

簡化問題

為什麼數學家不會遇上相同的問題?因為討論線段、曲線和形狀的幾何學可以化解這類煩惱。如果你認為幾何學只有需要考試的學生和象牙塔中的學者需要了解,恐怕大錯特錯。幾何學可以在現實生活中派上用場,也能拯救你的荷包。在解決問題時也能搭配一些代數──你只需要記住,不同長度可以分別使用不同字母來代表。

很多時候,數學家會先思考較簡單的問題,再據以推敲較棘手的難題。與其設法讓沙發順利過彎,我們不如先將長度為L的梯子放倒並垂直於地面,試著搬過轉角。另外,我們還要假設兩個走廊的寬度相同,在此以字母 a 表示。

在對稱(轉角兩側的走廊同寬)的假設下,我們應該可以明顯看出,關鍵是梯子抵到內轉角且兩邊長度相等時的位置(請見圖1),此即為梯子能通過的最大長度,而此時外轉角到梯子末端的長度為 2a。

想必你應該還記得學校教過的畢氏定理,根據該定理:

L² = (2a)² (2a)²

由此可知 L = √8a。這時只要使用計算機,就能輕鬆算出確切的答案。

如果轉角兩邊的走廊寬度不同,我們就必須參考比利時根特大學雷蒙.布特教授(Raymond Boute)的數學論文〈移動長方形通過轉角:從幾何學的觀點談起〉(Moving a Rectangle around a Corner – Geometrically)。

假設一邊走廊的寬度為 a,另一邊為 b(請參考圖2),那麼透過神奇的數學運算,我們可以得出梯子能順利通過轉角的最大長度 L。布特指出,考量梯子順著轉角旋轉的情形,梯子的最大長度可以方程式表示如下:

L² = (a2⁄3 b2⁄3)³

L = (a2⁄3 b2⁄3)3⁄2

我們可以再次使用計算機算出答案。

從梯子推敲沙發

即便有梯子的例子為基礎,要是把梯子換成寬度為W的沙發(請見圖2),數學計算就會變得無比複雜。布特指出,我們需要算出以下方程式中m的值:

(bm³ – a)² – w² (m²– 1)² (m²+ 1) = 0

得出 m 的值之後,容許沙發通過的最大長度即可以下列方程式表示:

L² = (1 + 1/m²) [a + mb – W(m² +1)]

如果你想挑戰,當然可以自己動手解方程式。不過,幸好,你不必親自運算所有算式。我們總是可以從網路上找到更快的解決方法。打開網站讓計算機幫你搞定所有數學。你只要輸入走廊寬度以及沙發的長度和寬度,就能得知沙發能否順利通過轉角。

數學家熱愛各種挑戰,無趣的長方形沙發已無法滿足他們的胃口。他們早就開始研究多大(面積)的沙發可以順利通過轉角。數學家傑・葛弗(J. Gerver)已經算出目前可通過的最大沙發面積,這座沙發的外型就像舊式電話,正面有個半圓形的缺口,背面則為曲線造型。

下次你走進家具店時,別忘了攜帶測量工具。或者,帶上一位親切友善的數學家,也是不錯的選擇。

※ 本文摘自《搬沙發的幾何學》,原篇名為〈如何讓沙發順利通過轉角──搬家師傅還是得懂一些幾何學〉,立即前往試讀►►►