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文/洪偉

在古希臘,科學尚未興起前,神話與宗教具有解釋世界的重要地位。此時的哲學家帶著獨特角度,對世界進行了與信仰不同的追問:在現象背後,世界真真正正是什麼樣子?世界本源(Arche)[1]是什麼?

哲學家的「世界本源」意指構成世界的真正材質。哲學家對世界本源的猜想五花八門,例如原子論者主張萬物是由某些「基本粒子」構成,而被稱為歷史上第一位哲學家的泰勒斯(Thales of Miletus)則認為萬物都是水變成的。不同的哲學家選擇不同的東西來當世界本源,也因此對於世界如何運作有不同看法。

在這些哲學家當中,芝諾(Zeno)非常特別。他的老師巴曼尼德斯(Parmenides)主張萬物的本源是一種叫做「太一」的東西。「太一」沒有空與實、有與無的區別,因此也不會發生變化。巴曼尼德斯和芝諾都認為,世界上其實沒有真正的運動和變動,如果你認為有,就是被假象給騙了。

「世界沒有任何變化?」這種令人髮指的說法若出現在現代,恐怕要讓許多人不知道該怎樣教小孩。為了支持這個誇張的哲學立場,芝諾想出了好幾個著名的悖論。他提出的悖論,或許可說是哲學家使用思想實驗──協助思考的假想情況──的開端。

阿基里斯與烏龜

芝諾最有名的悖論叫做「阿基里斯與烏龜」。阿基里斯是希臘神話英雄,雖然擁有人類歷史中最脆弱的腳踝,但他是名飛毛腿。

即便如此,芝諾依然主張,只要烏龜先起跑,阿基里斯就無法超越牠:

  • 要超過烏龜,阿基里斯必須先到達烏龜本來所在的位置。
  • 到達烏龜本來所在的位置需要時間,所以當阿基里斯到達烏龜本來的位置時,烏龜已經又前進了一點點。
  • 雖然只是一點點,但是阿基里斯依然需要時間追上去,這段時間不為零。
  • 當阿基里斯再次到達烏龜本來的位置,烏龜又已經前進了一點點。
  • 周而復始,每次阿基里斯追上烏龜本來的位置,烏龜都會比本來更前進一點點,要追上去的時間都不為零。
  • 阿基里斯永遠沒有超過烏龜的一天。

因此,芝諾主張,我們對運動和變化的理解是矛盾的,只是錯誤的假象。

我們大概不會想接受「只要烏龜先起跑,阿基里斯就永遠沒有超過烏龜的一天」這個荒謬的答案,但又很難迴避芝諾所提出的思維流程。

可怕的是,在之後的一千多年間,人類都無法給這悖論很好的解釋。數學上,芝諾悖論牽涉到的無限小量問題[2],甚至被稱為「第二次數學危機」[3]。

芝諾錯在哪?

不過在今天,我們只需要高中數學的「無窮級數」的觀念,就能解釋「阿基里斯與烏龜」的問題。雖然這並不算是嚴格的解釋,但是基本上思路是正確的。為了簡化算數,我們以跑得遠比阿基里斯慢的阿草來舉例:

阿草的移動速度是羅哥的三倍,而羅哥比阿草先起跑一分鐘,所以跑在阿草前面十公分的位置。

我們首先考慮阿草奔跑(?)的距離。按照芝諾的算法,阿草跑十公分的時候,羅哥已經又前進 10/3 公分了;而當阿草跑 10/3 公分的時候,羅哥又向前了 10/9 公分;直至無窮。我們姑且將這樣的程序稱為「芝諾流程」。根據芝諾流程,阿草的奔跑總距離是一個公比為三分之一的無窮等比級數:

現在我們知道,這個無窮等比級數的值是十五。也就是在無限的芝諾流程中,阿草共跑了十五公分。在這同時,羅哥奔跑的距離也是一個公比為 1/3 的無窮等比級數:

因此在無限的芝諾流程中,阿草與羅哥都奔跑了十五公分的距離。

那麼,跑這段距離需要多少時間呢?首先,羅哥往前跑十公分,先花了一分鐘。阿草為了追上這十公分,他必須花 1/3 分鐘。在這同時,羅哥又往前跑了 10/3 公分,需要 10/3 分鐘。阿草為了追上這 10/3 公分,他需要花 10/9 分鐘。因此在芝諾流程之下,阿草與羅哥都奔跑十五公分的總時間,就是這個公比為 1/3 的無窮等比級數:

這個無窮等比級數的總和是 3/2。總結來說,其實阿草只要 2/3 分鐘,就能追上也跑了十五公分的羅哥,然後下一秒就可以超越他。

芝諾流程與兩種無限觀

不過芝諾流程在哲學上牽涉到另外一個困難的問題。

我再描述一次「芝諾流程」:它是一個無限的序列,也就是說,它的進展過程有無限多次。每一次進展都是一個新的項目:阿草往前進、阿草又往前進、阿草第三次往前進……無窮無盡。

關於無限序列,我想先說明兩種不同的無限觀念,一個是潛無限觀、一個是實無限觀:

  • 潛無限觀:從「這個序列具有內在的無窮過程」來看這個流程;
  • 實無限觀:從「經過上述無窮過程後,整個序列真正地被完成了」來看這個流程。

這兩種無限觀看起來都很直覺,然而它們真的合理嗎?

比起實無限觀,我們似乎更容易接受潛無限觀,因為它比較弱、預設比較少:實無限觀一旦成立,就等於承認有潛無限觀的無窮過程;但反過來說,就算承認潛無限觀,實無限觀也不一定成立。

簡單地說,若你認為無窮序列或程序的存在並不難理解,而且也合理,那你大概不會反對潛無限觀。但若你認為潛無限觀沒什麼好反對的,下一個問題就是:那你支持實無限觀嗎?

支持實無限觀會有什麼問題呢?這問題,我們可以將它稱為「內在超越問題」:

如果你承認實無限,那麼「有限」到「無限」之間的鴻溝究竟是如何跨越的?這個跨越似乎必須涉及一種直覺──這個無限持續的過程,在經過某種「超越」以後,就被完成了。

以前面的例子來說,根據數學,

這個無限序列的總和是 3/2。然而,一旦你承認這個明確的總和是真的加總完畢而存在,那麼你其實就預設了實無限觀。否則,單從潛無限觀看來,就算一項一項相加下去,也沒有任何時候會真的抵達 3/2,頂多只是無限地接近它。

然而,如果只接受潛無限觀,而不接受實無限觀,我們又如何說明這個加總的意義呢?如果無限是無法完成的,那麼,從數學上,我們要怎麼說明阿草可以追過羅哥?

無限的內在超越,無論你接受與否,各自都產生了要面對的難題。

註釋
[1] 古希臘文,我翻譯為「本源」,它同時具有第一原理、根源、根本等意義。
[2] 事實上,要凸顯無限小量難題的更好例子是「飛矢不動」。其悖論指出:一支飛行的箭是靜止的。由於每一時刻這支箭都有其確定的位置,因而它是靜止的,也因此箭就不能處於運動狀態。
[3] 歷史上的數學危機總共有三次:第一次是「無理數的存在」被證明出來;第二次是文中提及的「無限小量問題」;第三次則是羅素的「理髮師悖論」:有一名理髮師主張只幫鎮上所有「不幫自己理鬍子的人」理鬍子,那他要不要幫自己理鬍子呢?

※ 本文摘自《思辨決定你的未來》,原篇名為〈飛毛腿真的追不上烏龜嗎?〉,立即前往試讀►►►

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