我是「21點小組」成員，我用數學和統計合法打敗賭場

文／馬愷文；譯／林麗冠

那年，我二十二歲，是個職業算牌員。我不久前才拿到麻省理工學院機械工程系的學士學位，但是在日常生活上，那些正統教育幾乎都派不上用場，反而是在 21 點賭桌上，我運用數學和統計學贏牌。我練熟了幾道直接的公式和簡單方程式，它們告訴我：每次該下注多少錢。如果我照著這些公式打，我就會贏。

決定性時刻發生的那晚，我走向牌桌，因為麻省理工學院的隊友已經對我送出暗號。我隊友在那張牌桌上已經算牌算了好一陣子，他大聲說出暗號，把他算的結果告訴我。

依據隊友給的資訊和公式，我知道我必須在手上的兩把牌各押注 1 萬美元。我在牌桌旁坐下，在每個押注圈上面，放下十枚 1,000 元的黃色籌碼，然後抬頭看看發牌員，表示我準備好了。

對於我押的大注，發牌員似乎不太關心，她發給我一張 11，我的另一手牌得到兩張 9，然後她發給自己一張明牌 6。21 點完全是一種數學遊戲，不管你決定拿牌（多要一張牌）、不拿牌（不多要牌）、加倍下注（賭金加倍，同時，只再多拿一張牌），或放棄（放棄手上的牌，並且輸掉一半賭金），都沒有可以即興發揮的空間。我在牌桌上的決定，是根據最基本的玩牌原則，也就是所有算牌員所謂的「基本策略」。

「基本策略」是一套規則，也是玩 21 點的最佳策略。它可以做成一個表格，依據玩家手上的牌，以及發牌員的明牌，明確告訴玩家該採取何種策略（請見本書附錄 II）。這個策略會因牌桌規定的不同而略有改變，但只要你熟悉並且熟記「基本策略」，你可以把賭場莊家的勝率降到 1％ 以下。「基本策略」是四名美國陸軍技術員在 1957 年提出來的，他們先以數學演算法得出牌局概況，然後再以桌上型計算機計算出牌局所有可能組合的機率。

那回，我的信心動搖了

在那個決定性的時刻，我碰到的情況是：發牌員有一張明牌 6；「基本策略」告訴我：我應該對我的第一手牌 11 加倍下注 ── 加注 1 萬美元，同時多拿一張牌。於是，我多放十枚黃色籌碼在原本的十枚旁邊，代表我加倍下注了。發牌員發給我一張 7，我的第一手牌變成 18。一般的狀況是，18的輸面大。但是當發牌員只有一張明牌 6（當時她的情況是那樣），18 贏的機會不算太壞。

我另一手拿到的牌是兩張 9。我採取「分拆」策略 ── 我另外放下 1 萬元籌碼，代表我現在把手上這把牌拆成兩手，兩張 9 可以分開來玩了。第一手牌 9，我拿到一張 2，總點數變 11。這時，發牌員又給我加倍下注的機會，根據「基本策略」，我選擇加倍下注。我把手伸進口袋，摸出黃色籌碼，把它們漂亮地排在桌上那四疊籌碼旁邊。

接下來，局勢快速發展。發牌員發給我一張 5，把 11 加成總點數 16，然後她把目標轉到我最後的那張 9 上。她發給我一張 10，把這手牌 9 變成總點數 19。我現在已經有 5 萬美元押在牌桌上，我的三手牌分別是 19、16 和 18，對抗發牌員的明牌 6。即使我已經是老牌算牌員，這個局面也夠我緊張的了。

21 點的目標很簡單：盡量拿到 21 點，但不能超過 21 點。在賭場裡玩，你只和發牌員較量。和你在同一張牌桌上的玩家 ── 他們的點數、他們在幹嘛、他們的技巧、運氣或天分 ── 對你都沒影響。我那晚唯一的對手，是那名發牌員與在她背後撐腰的東家。她把她的暗牌（她那張在牌局中一直保持正面朝下的牌）翻開，是一張 5。這讓她一開始的總點數變成很危險的 11，因為她的總點數少於 17，根據規則，她必須選擇繼續拿牌，直到總點數變成 17 或更高。那個晚上，她只需要某張牌就能贏。就這麼巧，她給自己發了一張 10，給了自己無懈可擊的 21 點。我手上的每把牌都輸了，總共輸掉 5 萬美元。

一名站在我背後的女人尖叫起來：「老天，這是我全部的貸款！」而我則直楞楞地看著賭桌。我是個訓練有素、擅長運用算術打敗21點莊家的算牌員，早已學會不做出任何反應。我以這些玩過的牌面資訊，做出新的計算，然後得出我現在必須再賭三把牌，每把賭1萬美元。

我極為相信我們的算牌模式和方法，所以毫不遲疑地放下三疊十枚黃色籌碼。第一把牌，我拿到總點數 9（一張 5 和一張 4）；第二把牌，總點數 19；第三把牌是軟 15（一張 A 和一張 4）。發牌員有一張明牌 5。接下來，我的每一步行動都由數學決定，沒有個人可以「選擇」的餘地。我對 9 的那把牌加倍下注，又拿了1萬美元籌碼下注，同時取得一張老 K 牌，變成相對強勢的 19；對於第二把牌 19，我選擇不拿牌。然後，我對第三把牌軟 15 加倍下注，取得一張 4，變成總點數 19。

我總共押了 5 萬美元的籌碼在牌桌上。上一回合輸了 5 萬美元，這回如果沒有贏回輸掉的 5 萬美元，總共會變成輸掉 10 萬美元，我才不過下場玩五分鐘而已。

我覺得不太舒服，胃翻攪得厲害，我是在非常保守的環境中長大的孩子，我不明白，為什麼會落到今天這種地步。但我提醒自己：這是在玩21點，我幾乎已經沒時間做正確的運算和規畫了，哪還有時間做懷舊式的回顧呢？

目前，在十三張牌中，只有兩張可以一舉打敗我，那就是 5 或 6。但是從我算牌獲得的資訊來看，我相信發牌員手中的牌沒有太多 5 和 6 剩下來。發牌員猶豫了一秒鐘，然後翻出她下一張牌，是一張 6 ── 正是那兩張邪惡牌子的其中一張。再一次，她的總點數是 21。

我三把牌都輸了，連帶輸掉的是另一筆 5 萬美元的賭注。

我是麻省理工「21點小組」成員，我用數學和統計，以合法的方式打敗賭場。21 點小組是由那些已經學會、並且熟悉算牌技巧科學的麻省理工學生所組成的。我們是世界上數一數二的算牌員，而且我們相信自己所做的事，因為它總是能成功。但是那回，我的信心動搖了。

這聽起來也許有點戲劇化，但對我們來說，信仰分析和統計的力量，與信仰上帝並沒有什麼不同。不管是信仰哪種宗教、屬於哪種教派，真正的信徒在人生旅途上可能會遭逢考驗，但始終不改初衷。在那個決定性的時刻，我對統計的信仰可說是遭到重大考驗。

我步履蹣跚地上樓，回到凱薩飯店的房間，然後倒在地上，瞪著天花板，檢討過去十分鐘所發生的事。我哪裡做錯了？我在腦子裡一遍又一遍重新檢視我拿到的每把牌和所做的決定。它們完全符合「基本策略」守則，但我還是輸了。怎麼會這樣？也許是數學哪裡出了錯，或者是數學終究還是行不通？

這次輸錢是前所未見的，它出現的可能性不斷糾纏著我，我的腦海滿是懷疑。在我算牌的生涯中，我當然輸過錢，但從未輸到這種程度 ── 相較之下，這次輸錢是一場大災難。

我相信，我們都曾面臨這種充滿懷疑的時刻，而我們選擇面對的方式，顯示出我們的態度。以我來說，我可以倚賴的東西，就只有我對數學和統計的信心，我知道它們行得通。在我玩牌當下，21 點的基本原則並沒有突然改變。雖然在那張賭桌上發生了不可思議的事，但我們研發出來的方法還是根基穩固的。

我從行李中拿出幾張試算表和一個計算機，算了幾個數字。我很快就發現：第一把牌，我比莊家多 5％ 的機率可以贏牌，第二把牌，我比莊家多 6％。兩者在 21 點遊戲中，都有贏面，但兩者都不代表「一定會贏」。

說更清楚一點，第一把牌，我只有 52.5％ 的贏牌機率，莊家還是有 47.5％ 的勝算。顯然，看著桌面那些牌，在不同的時點，我都以為我手上的牌贏的機率比實際高出許多，但當我把錢放進押注圈時，我的贏面仍然只有 5％ 和 6％。

把這些數字釐清，幫助我看清楚那晚發生的事。我必須在兩個選擇之間做抉擇 ── 放棄或繼續玩。我告訴自己：在此刻放棄，就是放棄之前所有的努力 ── 在無數個晚上把牌發給自己，和我的隊友一起練習。我不能放棄。放棄不是應有的選項。

所以我決定回到賭桌，開始玩牌。我整個週末都在賭，把輸掉的 10 萬美元贏回來，然後又贏了一些，最後共淨賺 7 萬美元。如果前兩回合我也贏了，我在那個週末贏的錢就會超過 25 萬美元。但是我對我們法則的信心，把我從 10 萬美元的大破洞中救了上來。

從此以後，我對統計深信不疑。

※ 本文摘自《莊家優勢》，原篇名為〈統計的信仰：21點賭局的致勝策略〉，立即前往試讀►►►