數學家發現：飛行航線的最短距離不是直線!?

文／陳玉芬

數海準備趁著即將到來的暑假，想從日本東京飛去美國紐約玩，結果在查資料時，無意間發現東京到美國的飛行航線竟然穿過北極圈，這讓她疑惑了，不是應該直線飛行嗎？機長到底行不行呀？於是叫出麥斯爺爺。

數海：「為什麼這飛行航線看起來像是曲線，感覺就像機長在繞路。」
爺爺：「飛行的航線可是個很專業的數學問題！」

航行路線的設計有很多考量因素，比方說：氣候因素像北緯30 度附近的快速氣流，若行駛在那附近航線上，可以加快飛行速度，又或是政治因素，會避開一些國家的管轄領空，避免飛機被擊落，而對於飛行員而言，他們會希望飛行路線沿途有機場，可供緊急事故發生時迫降。但最重要的考慮因素自然是經濟航線，也就是採取最節省時間和燃料的路線，而這正是飛行路徑最短最省時間的大圓航線。

爺爺料想到數海這時一定會問什麼是大圓航線，所以繼續說道：「以你要去的東京到紐約作為地球上的兩點來說明，那麼這兩點間的捷徑就會在通過此兩點的大圓上，而此大圓就是指通過此兩點及球心的平面，在球面上的截痕。」浩瀚看了流著口水：「這截痕看起來就像切西瓜一樣，啊～口渴了～」

數海驚訝地說：「原來截痕是一個圓形呀，而且通過球心的大圓會把球面分成二個相等的半圓，沒通過球心的小圓，就不會！這麼說來，之前學過的每一條經線都是一個大圓了。」「沒錯，正是這樣，不過每一條經線都是大圓，緯線就只有赤道一條哦！」麥斯爺爺立刻回應。同時，球面上二點間最短的距離即是此大圓上較短的弧長（劣弧），而這就是飛行兩地的最短距離。

「那我們怎麼知道大圓上的劣弧就是最短路徑呢？」數海終於忍不住要問正題了。麥斯爺爺說：「球面上有許多可以通過球面兩點的圓弧路徑。你看像圖中這樣，就有通過圓心O 點的大圓與通過圓心O1的小圓。

本文摘自《生活中的數學魔法：動手做幾何，激發數感能力》，立即前往試讀►►►