【讀者舉手】萬物背後都藏著數學規律：《規模的規律和祕密》

文／進化村村長施定男

《規模的規律和祕密》在說什麼？

「我們居住的的世界具有非凡的複雜性、多樣性，以及雜亂性，不過當我們從規模的角度來看，背後存在著驚人的一致性與簡單性。」這句話就是本書的主旨。

作者Geoffrey West發現全世界哺乳類動物一生的心跳大約都是十五億下，也發現了動物的壽命長度、體積大小、代謝率，都可以藉由簡單的數學公式去推算。更有甚者，他還發現了城市的人口數和加油站數量、道路長度、水管長度之間有著規律關係。這個關係的核心，叫「縮放法則」（註：縮放的意思是縮小、放大）。

Geoffrey West是理論物理學家，也是聖塔菲研究院（Sante Fe Institute）的傑出教授，自2005年到2009年擔任院長。2006年，《時代》雜誌評選他為「全球最具影響力百大人物」。

接下來，我想與你分享三個書中的驚人知識，依序分別是「伽利略的縮放觀點」「用藥劑量的問題」「城市人口與加油站數量」。

1. 伽利略的縮放觀點

義大利物理學家伽利略探討了一個有趣的問題：物體放大會有何結果？他發現，當物體增大到某種程度時，會被自身重量壓垮。

讓我們從一個簡單的例子開始：一個1公分邊長的立方體。它的體積是1立方公分，底面積是1平方公分。假設它的重量為1公斤，那麼支撐這個重量的力來自於1平方公分的底面積。當我們將邊長逐步放大，會發現一個有趣的現象：體積增加的速度遠快於底面積。這是因為體積以三次方增長，而底面積只以平方增長。例如，當邊長變為3公分時，體積增加到27立方公分，而底面積只增加到9平方公分。更精準地說，底面積的數值是體積數值的2/3次方倍。

隨著物體不斷放大，體積（代表重量）與底面積（代表支撐力）的比例會越來越失衡。最終，物體的重量會遠超過其底部能夠提供的支撐力，導致物體被自身重量壓垮。這個原理在自然界中處處可見。例如，地球上的山峰高度有其極限，理論上最高不超過兩萬公尺，否則會被自身重量壓垮。實際上，最高的珠穆朗瑪峰也只有8,849公尺。

這個概念也解釋了為什麼小型動物能夠舉起比自己更重的物體：一隻螞蟻可以搬運比自己重數百倍的物體。相反地，人類難以背負與自己體重相當的重量，大象更不可能背起另一隻大象。總的來說，伽利略的觀察揭示了自然界中的一個重要規律：尺寸與承載能力之間存在著微妙的平衡關係。

理解底面積和體積數值的縮放關係後，我們就可以來討論用藥劑量的問題。

2. 用藥劑量的問題

用藥劑量的計算是一個複雜的問題，不能簡單地用線性思維來解決。我們來探討一個有趣的問題：LSD（迷幻藥）對大象的安全劑量是多少？

假設貓咪每公斤體重可安全服用0.1毫克LSD，那麼一頭3,000公斤的大象應該服用多少呢？乍看之下，我們可能認為只需要按體重等比例放大，得出300 毫克的結論。但是，這種線性思考方式可能導致嚴重後果。1962年，一頭亞洲象就因為注射300毫克LSD而死亡。注射後五分鐘，大象就出現了嚴重的不良反應，包括大吼大叫、全身虛脫、大小便失禁，最終在一百分鐘後不治身亡。

這個悲劇提醒我們，用藥劑量的計算並不是簡單的線性關係。實際上，藥物在體內主要透過細胞薄膜表面傳輸，因此劑量的決定因素與表面積有關！借鑒剛剛提到的伽利略的理論，我們可以得出一個更合理的估算方法：大象能承受的LSD劑量應該是0.1毫克乘以3,000的「2/3 次方」，答案約為20.85毫克，遠遠低於300毫克呀！怪不得那隻亞洲象會成仙。

請注意，不同動物的安全劑量計算方法可能因藥物特性而異，並沒有固定的公式。但是，利用面積對體積的縮放關係，可以得到一個相對可靠的估計值。

以上例子給我們一個重要的啟發：在使用藥物時，不應該盲目地按體重線性增加劑量。如果你在藥局發現，某藥罐上的建議用量是簡單地隨體重線性增加的話，那就得好好思考要不要買別罐藥了。當然，更直接的解決辦法是——問藥師。

3. 城市人口與加油站數量

剛剛在聊大象，現在我們要脫離有機體的範疇，聊聊「城市」。

West成功探索出有機體的縮放法則後，開始思考這些原理是否也適用於無機體，特別是城市。他認為城市是有生命的，因為人們的互動賦予城市生機。令人驚喜的是，研究結果顯示城市確實符合縮放法則。這表示我們可以透過小城市的基礎設施數量，來推算大城市的情況。

例如，West的研究發現，城市的加油站數量會以0.85的指數比率隨人口增加而增長。具體來說，當城市人口翻倍時，加油站數量只需增加85%，而不是 100%（兩倍）。這樣的現象使得每次人口加倍都能系統性地節約15%的資源。

比較兩個500萬人口的城市和一個1,000萬人口的城市，明明人口數都一樣是1,000萬人，但後者只需要前者85%的基礎設施。這表示人口多的大城市可以節省物質和能源的使用，同時減少廢氣排放。因此，人口越多的城市反而越環保，因為人均碳足跡較低。以美國為例，最環保的城市是紐約，因為它的人口數量最多；在台灣，最環保的城市則是台北。

這裡給我的啟發是，如果你的朋友非常重視環保，是個環保主義者，那麼你得建議他北漂去台北生活，不然他的環保行動都只能淪為行為藝術。