數學不會就是不會？因為大腦誤導我們繞了遠路

文／芭芭拉．歐克莉；譯／黃佳瑜

二十一世紀之初，神經科學家終於取得重大進展，理解了大腦在兩種不同神經網路 ── 高度專注狀態，以及比較放鬆的休息狀態 ── 之間如何切換1。我們把對應於這兩種神經網路的思考過程分別稱為「專注模式」（focused mode）及「發散模式」（diffuse mode）。這兩種模式對於學習具有重大意義2。你的日常生活似乎經常在這兩種模式之間切換。你要不是處於專注模式，就是處於發散模式，你不會有意識地同時運用兩種模式。當你沒有刻意費心去做某一件事，這時似乎是發散模式在幕後默默運作3。有時候，你也可能一閃神就進入發散式思考模式。

學習數學理科的時候，「專注模式」是不可或缺的思考方式。這是用理性的、循序漸進的、分析的方法來直接解決問題。專注模式跟大腦前額葉的專注能力有關。前額葉的位置就在額頭的正後方。(接下來，我會用「注意力章魚」這個比喻來深入探討這一點。)當你聚精會神做某一件事，這時專注模式應聲登場，就像手電筒的光束那樣密集而有穿透力。

「發散模式」也是學習數理不可或缺的思考方式。這個跟「大方向」有關，可以使我們在百思不得其解的時候靈光乍現。當你放鬆下來，任由思緒神遊，這時大腦就會進入發散模式。放鬆，可以幫助大腦的不同區塊進行連結，產生珍貴洞見。發散模式似乎不跟大腦的任何一個區塊有直接關係 ── 你可以想像它「發散」在大腦的各個部位4。發散式思考帶來的頓悟，往往是從先前用專注模式思考所得到的初步認識而湧現的。（巧婦難為無米之炊，也得有泥土才能製造磚塊！）

學習過程牽涉到複雜的神經運作，它涵蓋大腦的各個部位，動用兩個半腦之間的來回傳導5。思考與學習是非常複雜的過程，不光只是在專注模式與發散模式之間切換而已。幸好我們在這裡不需要進一步討論其中的生理機制。讓我們換一個方式來說明。

為什麼數學和理科比較難

用專注模式解決數理問題，往往比用專注模式思索語言及人文問題更費勁6。原因是什麼？或許是因為，比起傳統語言，數理概念裡面含有更多抽象的密碼，而人類經過幾千年演化還沒有演化出處理數學概念的能力7。當然，我們能思索數學及自然科學，只不過其中的抽象性和加密性（encryptedness）為數理問題增添了一層（有時是好幾層）複雜度。

「抽象性」是什麼意思？你可以指著牧場上正在反芻的活生生牛隻，跟書上的「牛」這個字劃上等號。不過，你無法指出「＋」這個符號的活生生形象 ── 加號背後的概念比較抽象。至於「加密性」，我是指符號背後可以象徵各種運算或概念，例如，乘的符號象徵的是重複的加。如果用彈珠台來打比方，數學的抽象性及加密性，彷彿讓彈珠台的圓樁變得比較鬆軟 ── 你必須多練習幾次，圓樁才會固定，讓鋼珠的彈跳更為穩妥。這也說明了為什麼拖拖拉拉的毛病對於學習數理來說是重大課題。（當然啦，不管學哪一科，都得解決拖延的毛病。）後面也會深入討論這個問題。

數理之所以困難，還牽涉另一項叫做「愛因司貼浪效應」（Einstellung effect；或稱「定勢效應」）的難題。在這種現象之下，你的既定觀念或最先出現的念頭，會阻礙你找到更好的想法或解答8。我們在專注模式的彈珠台上看到了這種現象：代表「想法」的彈珠一開始就往大腦的上半部跑，然而解決問題的思維模式卻位於圖像的下方。（「愛因司貼浪」這詞出自德文，意思是「安裝」。你可以把「愛因司貼浪」想像成安裝路障，而那路障就是你一開始看事情的角度。）

這種謬誤尤其容易出現在理科的學習上，因為有時候你一開始的直覺會誤導方向。你在學習新知的時候，必須設法忘掉腦中既有的錯誤觀念9。

定勢效應是學生經常碰到的絆腳石。問題是，你不光只是需要重新訓練你出於自然反應冒出來的直覺 ── 面對習題，你有時根本不知道從何下手。你不得要領 ── 你的思緒距離正確解答很遠，因為在專注模式中一個緊跟著一個的圓樁，阻礙了你的思緒大幅跳向解答所在的地方。

這也可以解釋學生在學習數理時常犯的一個重大錯誤，就是還沒學會游泳就直接跳入水中。換句話說，還沒讀課本、沒聽課、沒有觀看線上課程或跟哪個內行人談過，就盲目地開始寫作業。這是注定失敗的。這就像任由思緒在專注模式的彈珠台中隨便亂撞亂彈，卻沒有先花一點時間看一下解答究竟落在什麼地方。

知道如何去找到真正的解決方法，這是很重要的。面對數理問題如此，生活中的各個層面都是如此。比方說，先做一點研究、提高警覺，甚至自己先做實驗，就可以讓你避免把錢（甚至是健康）浪費在謊稱具有「科學」效果的產品上。只要具備一點數學常識，你就可以避免拖欠貸款 ── 而拖欠貸款恐怕會對你的生活造成重大的負面衝擊。

說起「拖延」這回事

許多人深受拖拉的毛病所苦。本書會仔細討論如何對付拖延的壞習慣。現在你先只要記住這一點：如果你一拖再拖，最後你剩下的時間就只夠你拿來做表面的專注式學習，而你感受到的壓力也隨之升高，因為你知道自己不得不完成一件你很討厭的工作。於是，你在腦中留下的神經模式是模糊、破碎而且很快就會消失的 ── 這是很不牢靠的基礎。這很可能造成大問題，對於學習數理尤其嚴重。如果你在考試之前才臨時抱佛腳，或者寫作業的時候草草了事，你就沒有給足夠時間讓這兩種模式來一起幫你理解困難的觀念和題目，幫助你融會貫通。

註釋

1有關「預設模式網路」（Default-mode network）的討論，參見Andrews-Hanna, 2012; Raichle, ME, and AZ Snyder, 2007; Takeuchi, H, et al., 2011。關於休息狀態的一般性探討，詳見Moussa, MN, et al., 2012。
但Bruce Mangan在截然不同的調查主題中指出，威廉．詹姆士（William James）曾如此描述「意識邊緣」：「意識會出現『轉換』，使得意識邊緣短暫卻頻繁地進入前緣，接掌意識的核心。」（Cook 2002, p.237; Mangan 1993）
2我的「專注」與「發散」模式，大致與創意大師愛德華．德．波諾（Edward de Bono）所說的「垂直思考」與「水平思考」說符合。（de Bono 1970）
3眼尖的讀者會發現，我說過當專注模式活躍進行時，發散模式偶爾會在背後默默運作著。然而研究發現，預設模式網路（這只是眾多休息狀態的神經網路之一）似乎會在專注模式進行時安靜下來。那麼情況究竟為何？身為教育者與學習者，我覺得專注工作時，只要注意力稍微鬆散，某些非專注的活動可以在背後持續進行。就此而言，我所說的「發散模式」，也許可以想像成「學習導向的非專注模式活動」，而不是單純的「預設模式網路」。
4發散模式或許也會用到前額葉，不過它涉及的多半是大範圍的連結，而且比較少篩掉看起來無關的連結。
5心理學家Norman Cook曾說：「人類心理學的中心命題有幾個首要元素：(1) 右半腦與左半腦之間的資訊交流；(2)『優勢半腦』（即左半腦）和進行口語表達時的周邊反應機制之間的交流。」（Cook 1989, p.15）
不過，讀者也應當知道，有關左右側大腦的差異，多年來已被引申出為數多到數不清的謬誤推斷和愚蠢定論。（Efron 1990）
6根據2012年一項「學生學習投入全美普查」指出，在大四學生當中，工科學生每星期平均花十八小時讀書，教育科系學生花十五小時，理科及商科學生大約花十四小時。《紐約時報》一篇名為〈理科學生為什麼改變心意（實在太難了）〉的文章提到，工學院榮譽教授David E. Goldberg 指出，微積分、物理、化學等繁重的課業，引發了一場「數理死亡行軍」，學生紛紛遭到淘汰。（Drew 2011）
7有關數學思維的演化，詳參Gear 2005, chap. 6。
沒錯，許多抽象語彙跟數學無關；相反的，與情緒相關的抽象概念多得驚人。我們也許看不見這些語彙，但是能夠感覺到 ── 至少能感覺到這些語彙的重要層面。
著有《象徵物種》（The Symbolic Species，暫譯）的Terrence Deacon曾指出，數學的加密∕解密，具有內在的複雜性：「回想你初次接觸一種全新的數學概念，例如重複性減法（也就是除法）時的情形。一般而言，老師教學生這種抽象觀念所使用的方法，就是讓孩童學會一套有關數字和運算符號的操作法則，然後放進各種不同數字，讓孩童反覆操練這套法則，期望藉此幫助他們『看見』法則背後的實質關係。我們通常用『機械式操練』來形容這種學習方法（我稱作『索引式學習』）。然後當孩子差不多可以不加思考便進行這類運算了，我們又期望他們看見運算和真實世界之間的關聯。如果一切順利，孩童會在某個時間點『領悟』這眾多符號和公式『背後』的共通抽象性。他們建立了一個有關種種可能性組合和背後抽象意義的高階記憶，並且從中認出他們藉由反覆操練所習得的運算法則。這個抽象步驟對許多孩童而言非常困難。那麼現在，想像一下理解微積分的過程；其中要經過相同的轉化，但是抽象性更高。微分基本上就是重複性的除法，而積分就是重複性的乘法，各自進行無數次，也就是說，達到極微小的數值（這是可能的，因為靠的是收斂級數，而收斂級數本身只能由推論得知，無法直接檢定。）進行無窮次運算的計算能力，可以解決光從文字敘述看似無法解決的季諾悖論（Zeno’s paradox）。但是在如此的困難度之外，我們現在使用萊布尼茲公式，將無數次的反覆運算濃縮成單一符號，也就是積分符號；因為你無法真的寫下無窮盡的運算式子。這讓微積分的運算更脫離它象徵的實質意義。
「也就是說，以微積分式子所表達的運算，受到雙重加密。是的，我們歷經演化而來的心智能力，特別適合操作實質的運算，所以微積分當然很困難。但數學是一種『加密』的形式，不只是『再現』而已。而由於解密是多重的挑戰，因而解密在本質上就是困難的。這正是為什麼加密會使得溝通內容很難被破解。我的重點是，不論我們的能力再怎麼如何演化，加密就是數學的天性。數學之所以困難，正如密碼難以破解。
「我感到驚訝的是，我們明明都知道數學公式是加密過的訊息，如果你想破解密碼、得知其中含意，你必須先知道如何解碼，但我們卻還不懂為什麼高等數學很難教，卻還要怪罪於教育系統或老師。我想，這就有一點錯怪了演化。」（取自他與作者的個人信函，2013年7月11日。）
8參見Geary 2011。也請參考影響深遠的紀錄片《A Private Universe》，網址是https://www.learner.org/series/a-private-universe/1-a-private-universe，該影片中探討了諸多關於理解科學的錯誤觀念。
9Allan Schoenfeld指出，在他拍攝的一百多卷錄影帶中，「大學和高中學生面對不熟悉的題型時，大約六成學生說他們靠『閱讀題目、快速決定方向，然後拚死朝那個方向前進』得到答案。」這可以說是專注思維最糟糕的運用。（Schoenfeld, AH, 1992）

※ 本文摘自《大腦喜歡這樣學》，原篇名為〈大腦的兩種學習模式〉，立即前往試讀►►►