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文/泰森、史特勞斯、戈特

我們從恆星開始談起,然後再擴展到星系、宇宙,以及宇宙之外。還記得在「玩具總動員」電影裡,巴斯光年是怎麼說的嗎?

「飛向宇宙,浩瀚無垠!」

宇宙真的是浩瀚無垠。首先,我要介紹宇宙的大小和尺度,它真的遠比你想像的還要大。宇宙比你想像的要來得更熱、更緻密,矛盾的是,宇宙也比你想像的更為稀疏。簡單的說,宇宙實際上比你想得到的要怪異多了。不過在我們啟程之前,讓我們先把工具準備好。

首先,全世界現在有70億人口。

那麼比爾.蓋茲有多少錢呢?我上次查的時候,他的財富已經累積到800億美元。他是科技怪傑的典範,而在人類歷史上,科技怪傑首次掌控了這個世界。在人類歷史上,這是前所未見的,時代是真的不同囉。至於你會在何處見到1,000億呢?說真格的,還沒到1,000億啦。麥當勞宣稱「我們賣出了超過990億個漢堡」,這是你在街頭能見到的最大數字。我記得童年時麥當勞開始計數的年代,我小時候麥當勞很神氣的公告「我們賣出超過80億個漢堡」。麥當勞的告示牌上永遠不會出現1,000億,因為他們是在10億(billion)之前加兩個數字欄位來顯示賣出多少個漢堡,所以數字最多只能來到「99」個10億(就是990億)。不過,他們現在用天文學家薩根(Carl Sagan)的話,誇張對著我們說「賣出億萬又億萬的漢堡」。

拿1,000億個漢堡來,把它們平放,一個接著一個,從紐約市開始往西排,能到得了芝加哥嗎?沒問題。到得了加州嗎?當然可以。如果它們能浮在水面上的話,以直徑10公分的圓麵包來說(漢堡的直徑略稍微小於這樣的圓麵包),我的計算指出,這些漢堡會繼續橫過大海,沿地球的大圓航路穿過太平洋、澳洲、非洲,然後經過大西洋,最後再回到紐約市。把1,000億個漢堡沿著地球的圓周排列,你已用掉了不少,不過也剩下不少。你打算怎麼處理剩下的漢堡呢?你可以再來215趟相同的旅程!不過,仍然有不少剩下來。現在你對繞著地球打轉沒興趣了,你還能做什麼呢?把它們疊起來。也就是說,在繞地球216圈之後,你把剩下的漢堡疊起來,能疊多高呢?你搆得著月亮,然後再回來。所以說,你把漢堡平放繞地球216圈之後,又把每個厚度5公分的漢堡堆疊到月亮的高度再回來,終於把1,000億個漢堡用完了。這也正是牛為何這麼怕麥當勞的原因了。相較之下,銀河系大約有3千億顆恆星,所以麥當勞快追上宇宙了。

在你年紀到達31歲7個月9小時4分20秒時,已經活了10億秒。我到達那個年歲時,開了一小瓶香檳來慶祝,因為我們並非那麼常遇到10億這個數字。

讓我們繼續下去。接下來的是什麼呢?1兆(10^12);它的公制字首是tera-。1兆是沒法數的,但你當然可以試。如果你每秒數一個數字,數到1兆會用掉的時間是31年的1,000倍,也是說是31,000年。這也是為什麼縱然你在家裡閒得發慌,我也不建議你去數到1兆的原因。在1兆秒之前,當時穴居的原始人還正在他們起居室的牆壁上畫圖。

在紐約市的羅斯地球與太空中心,我們用螺旋坡道來展示以大霹靂(也稱為大爆炸)為起點的宇宙時間線,呈現宇宙138億年以來的歷史。如果把整座坡道展開來,長度和一座美式足球場(約100公尺)差不多,所以你的每一步就跨過了5,000萬年。當你沿著斜坡走到頂部時,也許會問:「我們在那裡?」「我們人類的歷史描繪在何處?」從1兆秒前到今日,從愛四處塗鴉的穴居人到現在,這整段時間只占了一根髮絲寬度的跨幅,而我們也真的在時間線的頂端放了一根頭髮。你認為我們的生命夠長,你認為我們的文明也持續了很久的時間,但是以宇宙的觀點來看並非如此。

接著呢?接下來是帶著公制字首peta-的1千兆(10^15)。這是我最愛的數字之一。根據螞蟻專家威爾森(E. O. Wilson)所說,地球表面和地底大約住了1千兆到1萬兆隻螞蟻。

接下來呢?1百京(10^18),它的公制字首是exa-。十座大型沙灘的沙粒顆數合起來大約就是這麼多。位在里約熱內盧,世界上最著名的科帕卡巴納海灘,以前的長度是4.2公里,寬55公尺。後來他們運來了350萬立方公尺的沙,把沙灘加寬到140公尺。科帕卡巴納海灘表面的中型沙粒大小約為1/3毫米(公釐)寬,每1立方毫米有27顆沙粒,所以350萬立方公尺的這種沙粒,數量大約是1017顆,幾乎是科帕卡巴納海灘目前的沙粒總數。因此像科帕卡巴納海灘這樣的沙灘,十座合起來就有1018顆沙粒。

如果再增加1,000倍,數字就來到了10^21(10垓)。我們已經從公里談到擴音器,然後到麥當勞的漢堡,再到克羅馬儂人藝術家,接著到螞蟻、海灘上的沙粒,最後來到10個10垓──可觀測宇宙中的恆星數量。

目前有些活在這個世上的人,仍然堅持人類是宇宙中獨一無二的。之所以如此,是因為他們對大數一點概念也沒有,對宇宙的大小也毫無所知。在之後的篇幅中,我們會進一步討論何謂可觀測宇宙(我們見得到的那部分宇宙),以及它的意涵。

既然已經說到這裡,讓我往後頭跳遠一些。舉例來說,像是10^81這種遠比10垓還要大的數字?據我所知,這個數字沒有名稱,它是可觀測宇宙中的原子總數。為何我們需要比這個數還要大的數字呢?到底你該如何去數?或者我們可以談一個很漂亮的整數,也就是古戈爾(googol,10^100)。千萬別把古戈爾(googol)和網路搜尋公司Google混淆在一起,雖然當初這家公司的名字,就是故意把googol變形拼成這樣的。

可觀測宇宙中,並沒有需要用古戈爾去計數的物體。這就只是一個很有趣的數字,你可以把它寫成10100,如果你沒有上標可用,寫成10^100也行。話雖如此,在某些情況下,這種大數可能有用,不是用來計數,而是用來表示事情有多少種可能的變化。例如,西洋棋到底有多少種下法呢?在西洋棋局中,如果同一步棋重複出現3次;或者每位棋手都走了50步之後,士兵不曾移動或沒有棋子被吃掉;或者剩下的棋子太少,無法把對手將死;兩位棋手之中的任何一位,都可以宣告這是一盤和棋。如果我們規定棋手在上述的這些情況發生時必須宣告和棋,那西洋棋的可能下法就算得出來。戈特曾做過這種計算,發現可能的下法雖然少於10^(10^4.4),但是比起1古戈爾,也就是10^(10^2)要多上不少。在此處,我們並沒有在計數,只是在為完成某件事的可能方式計量,而在這種情況下,數字可以非常龐大。

我可以再提一個更大的數。如果說1古戈爾是1的後頭接了100個0,那10的1古戈爾次方是什麼?這個數也有個名字,稱為古戈爾普勒克斯(googolplex),是1的後頭跟著1古戈爾個0。你能把這個數目寫出來嗎?辨不到吧!因為它擁有1古戈爾個0,而1古戈爾大於宇宙原子的總數,所以你只能把它寫成10GOOGOL或1010100或10^(10^100)。如果你真的幹勁十足,或許可以試著在宇宙中的每個原子上寫下1019個0,不過你一定有更值得忙的事情。

我說這些,並不是要浪費你的時間。我知道有比1古戈爾普勒克斯還要大的數。貝肯斯坦推導了一個公式,讓我們能用來估計,一個和我們可觀測宇宙的質量與大小相當的體系,擁有的量子態之最大數量是多少。由於觀測會造成量子模糊效應,上述的量子態數量,就是像我們所在的這類可觀測宇宙的最大數量。這個數字是10^(10^124),1後面的0的數量,是1古戈爾普勒克斯的1024倍。這10^(10^124)個宇宙,有些極為恐怖,裡頭到處都是黑洞的宇宙,有些則是和我們的宇宙幾乎完全相同,唯一的差異在於你鼻孔裡少一顆氧分子,而某位外星人的鼻孔裡多一顆氧分子而已。

所以,事實上,我們真的用得上一些極大的數字。我倒是想不出比古戈爾普勒克斯更大的數字有何用途,但數學家肯定用得著。有個數學定理裡頭有個很勁爆的數字10^(10^(10^34)),稱為斯奎斯數(Skewe’s number)。數學家能從遠遠超越物理現實的思索,獲得一些樂趣。

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※ 本文摘自《觀念天文學》,原篇名與節錄至〈宇宙的大小與尺度〉,立即前往試讀►►►

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